Question

數列{a_n}是遞減的等差數列，{a_n}的前n項和是s_n，且s₆=s₉，有以下四個結論：
（1）a₈=0；（2）當n等于7或8時，s_n取最大值；（3）存在正整數k，使s_k=0；（4）存在正整數m，使s_m=s_2m．
寫出以上所有正確結論的序號，答：

①②③④

．

Answer 1

分析：由已知，得出a₈=0，利用等差數列性質，前n項和公式，及靈活代換逐項判斷，得出正確序號即可．

解答：解：∵s₆=s₉∴a₇+a₈+a₉=0，由等差數列性質，3a₈=0，a₈=0，①對．
∵數列{a_n}是遞減的等差數列，由已知，a₁＞a₂＞…a₇＞a₈=0＞a₉…，∴當n等于7或8時，s_n取最大值 ②對
∵a₈=0，則S ₁₅=

1

2

（a₁+a₁₅）×15=15a₈=0，∴存在正整數k=15，使s_k=0；③對
由等差數列性質，S₁₀-S₅=a₆+a₇+a₈+a₉+a₁₀=5a₈=0，S₁₀=S₅ ∴存在正整數m=5，使s_m=s_2m．④對
故答案為：①②③④

點評：本題考查等差數列性質，前n項和公式，考查知識的靈活應用，等量代換，整體意識．利用a₈=0這一特殊項盤活了整個等量代換過程．