Question

【題目】已知向量 與 ．
（Ⅰ）若 在 方向上的投影為 ，求λ的值；
（Ⅱ）命題P：向量 與 的夾角為銳角；
命題q： ，其中向量 ， =（ ）（λ，α∈R）．若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知， 在 方向上的投影 = ，即 = ．
所以1﹣2λ=5，∴λ=﹣2．
（Ⅱ）1°，若p為真，則 ＞0，且 ，即1﹣2λ＞0，且λ≠﹣2．
2°若p為真，由 得λ2﹣cos2α=λ+2sinα，
∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣（sinα﹣1）2+2．
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤λ2﹣λ≤2，∴﹣1≤λ≤2．
若p真q假，則 ∴λ＜﹣1且λ≠﹣2．
若p假q真，則 ∴ ≤λ≤2
綜上得λ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪[ ，2]
【解析】（Ⅰ） 在 方向上的投影的表達式是 ，由此得出關于λ的方程，解出即可．（Ⅱ）若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則pq中一真一假，分類求解，再合并即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復合命題的真假的相關知識，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真，以及對數量積表示兩個向量的夾角的理解，了解設、都是非零向量，，，是與的夾角，則．