Question

已知函數f（x）=sin⁵x+1，根據函數的性質、積分的性質和積分的幾何意義，探求

∫

π 2 - π 2

f(x)dx的值，結果是（　　）

• A、

  1

  6

  +

  π

  2

• B、π
• C、1
• D、0

Answer 1

分析：由sin5x是奇函數，關于原點對稱，且積分限關于原點對稱，積分就是面積，得到x＜0和x＞0時積分的值一正一負，且面積相等，可得正負抵消，即

∫

π 2 - π 2

sin⁵xdx=0，根據積分的性質和幾何意義可知，

∫

- π 2 π 2

f(x)dx=

∫

π 2 - π 2

（sin⁵x+1）dx=

∫

π 2 - π 2

（1）dx，求出1的原函數，根據積分的定義即可求出所求式子的結果．

解答：解：∵sin5x是奇函數，關于原點對稱，
且積分限關于原點對稱，積分就是面積，
∴x＜0和x＞0時積分的值一正一負，且面積相等，
∴正負抵消，即

∫

π 2 - π 2

sin⁵xdx=0，
則

∫

- π 2 π 2

f(x)dx=

∫

π 2 - π 2

sin⁵xdx+

∫

π 2 - π 2

（1）dx=x

|

π 2 - π 2

=

π

2

-（-

π

2

）=π．
故選B

點評：考查學生求函數導數的能力，以及掌握定積分的簡單運算方法．