Question

已知直線l：y=ax+b，其中實數a，b∈{-1，1，2}．
（Ⅰ）求可構成的不同的直線l的條數；
（Ⅱ）求直線l：y=ax+b與圓x²+y²=1沒有公共點的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）實數a，b∈{-1，1，2}，直線l：y=ax+b，由加法計數原理能求出可構成的不同的直線l的條數．
（Ⅱ）直線l：y=ax+b與圓x²+y²=1沒有公共點，是指圓心（0，0）到直線ax-y+b=0的距離大于圓的半徑，由此能直線l：y=ax+b與圓x²+y²=1沒有公共點的概率．

解答：解：（Ⅰ）∵實數a，b∈{-1，1，2}，直線l：y=ax+b，
∴可構成的不同的直線l的條數有：
a=-1，b=-1，1，2；a=1，b=-1，1，2；a=2，b=-1，1，2．
故可構成的不同的直線l的條數共9條．
（Ⅱ）直線l：y=ax+b與圓x²+y²=1沒有公共點，
是指圓心（0，0）到直線ax-y+b=0的距離d=

|b|

a2+1

＞圓的半徑1，
即

|b|

a2+1

＞1，即a²+1＜b²，
∵構成直線l：y=ax+b的（a，b）的值有（-1，-1），（-1，1），（-1，2），（1，-1），
（1，1），（1，2），（2，-1），（2，1），（2，2），
滿足a²+1＜b²的（a，b）的值有（-1，2），（1，2），
∴直線l：y=ax+b與圓x²+y²=1沒有公共點的概率P=

2

9

．

點評：本題考查直線的條數的求法，考查直線與圓沒有公共點的概率，解題時要認真審題，注意加法計數原理和點到直線的距離公式的合理運用．