Question

12分）設函數f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，a∈R，
（1）若f（x）在x=3處取得極值，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先求原函數的導數；再根據f（x）在x=3處取得極值對應的結論f′（3）=0即可求實數a的值；
（2）先求原函數的導數，根據f′（x）＞0求得的區間是單調增區間，f′（x）＜0求得的區間是單調減區間，即可．

解答：解：因為f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
所以：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）
（1）∵f（x）在x=3處取得極值
∴f′（3）=0⇒6（3-a）（3-1）=0⇒a=3；
（2）∵a=3，
∴f′（x）=6（x-3）（x-1）．
令f′（x）＞0⇒x＞3或x＜1．
令f′（x）＜0⇒1＜x＜3
所以函數的增區間為（-∞，1]，[3，+∞）．
減區間為：[1，3]．

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究函數的單調性、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，轉化思想．