Question

如圖，已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開(kāi)口向右，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的弦長(zhǎng)為2，過(guò)C上一點(diǎn)A作兩條互相垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于P,Q兩點(diǎn).

（1）若直線(xiàn)PQ過(guò)定點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）對(duì)于第（1）問(wèn)的點(diǎn)A，三角形APQ能否為等腰直角三角形？若能，試確定三角形APD的個(gè)數(shù)；若不能，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）,（2）一個(gè)

試題分析：（1）確定拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程只需一個(gè)獨(dú)立條件，本題條件為已知通徑長(zhǎng)所以?huà)佄锞�(xiàn)的方程為.直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際是一個(gè)等式恒成立問(wèn)題.解決問(wèn)題的核心是建立變量的一個(gè)等式.可以考慮將直線(xiàn)的斜率列為變量，為避開(kāi)討論，可設(shè)的方程為，與聯(lián)立消得，則，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，代入化簡(jiǎn)得：因此，點(diǎn)坐標(biāo)為，（2）若三角形APQ為等腰直角三角形，則的中點(diǎn)與點(diǎn)A連線(xiàn)垂直于.先求出的中點(diǎn)坐標(biāo)為，再討論方程解的個(gè)數(shù)，這就轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)增減性，并利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)有且只有一個(gè).
試題解析：(1)設(shè)拋物線(xiàn)的方程為,依題意,,
則所求拋物線(xiàn)的方程為.                  (2分)
設(shè)直線(xiàn)的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為.
由,消得.由,得,
,.∵,∴.
設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為,則有.
,,
∴或.
∴或, ∵恒成立. ∴.
又直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn),即,代入上式得
注意到上式對(duì)任意都成立,
故有,從而點(diǎn)坐標(biāo)為.                (8分)
(2)假設(shè)存在以為底邊的等腰直角三角形,由第（1）問(wèn)可知,將用代換得直線(xiàn)的方程為.設(shè),
由消,得.
∴ ,.
∵的中點(diǎn)坐標(biāo)為,即,
∵,∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為.
由已知得,即.
設(shè),則,
在上是增函數(shù).又,,
在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn).函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),
所以滿(mǎn)足條件的等腰直角三角形有且只有一個(gè).            (12分)