Question

形狀如圖所示的三個游戲盤中（圖1是正方形，M、N分別是所在邊中點，圖2是半徑分別為2和4的兩個同心圓，O為圓心，圖3是正六邊形，點P為其中心）各有一個玻璃小球，依次搖動三個游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對值，求隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）利用相互獨立事件概率計算公式，可求概率；
（II）確定ξ可能的取值為1，3，求出相應(yīng)的概率，即可得到隨機變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（I）“一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分”分別記為事件A₁、A₂、A₃，由題意知，A₁、A₂、A₃互相獨立，且P（A₁）=

1

2

，P（A₂）=

1

4

，P（A₃）=

1

3

，…（3分）
∴P（A₁ A₂ A₃）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）=

1

2

×

1

4

×

1

3

=

1

24

（II）一局游戲后，這三個盤中的小球都停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，相應(yīng)的小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)可能取值為3，2，1，0，所以ξ可能的取值為1，3，則
P（ξ=3）=P（A₁ A₂ A₃）+P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=P（A₁） P（A₂） P（A₃）+P（

.

A1

）P（

.

A2

）P（

.

A3

）
=

1

2

×

1

4

×

1

3

+

1

2

×

3

4

×

2

3

=

7

24

，
P（ξ=1）=1-

7

24

=

17

24

．
所以分布列為

ξ	1	3
P	17 24	7 24

數(shù)學(xué)期望Eξ=1×

17

24

+3×

7

24

=

19

12

．

點評：本題考查概率的計算，考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率是關(guān)鍵．