Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為平行四邊形，BD⊥DC，△PCD為正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E為PC的中點．

（1）證明：AP∥平面EBD；

（2）證明：BE⊥PC．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）連結AC交BD于點O，連結OE，利用三角形中位線可得AP∥OE，從而可證AP∥平面EBD；

（2）先證明BD⊥平面PCD，再證明PC⊥平面BDE，從而可證BE⊥PC．

證明：（1）連結AC交BD于點O，連結OE

因為四邊形ABCD為平行四邊形

∴O為AC中點，

又E為PC中點，

故AP∥OE，

又AP平面EBD，OE平面EBD

所以AP∥平面EBD；

（2）∵△PCD為正三角形，E為PC中點

所以PC⊥DE

因為平面PCD⊥平面ABCD，

平面PCD平面ABCD＝CD，

又BD平面ABCD，BD⊥CD

∴BD⊥平面PCD

又PC平面PCD，故PC⊥BD

又BDDE＝D，BD平面BDE，DE平面BDE

故PC⊥平面BDE

又BE平面BDE，

所以BE⊥PC．