Question

如圖，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE＝FC₁＝1.

(1)求證：E，B，F，D₁四點共面；

(2)若點G在BC上，BG＝，點M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：

EM⊥平面BCC₁B₁；

(3)用θ表示截面EBFD₁和側面BCC₁B₁所成的銳二面角的大小，求tanθ.

Answer 1

(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，

則＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)，

所以＝＋，

故，，共面.

又它們有公共點B，

所以E，B，F，D₁四點共面.

(2)設M(0,0，z)，則＝(0，－，z)，

而＝(0,3,2)，

由題設得·＝－×3＋z·2＝0，

得z＝1.因為M(0,0,1)，E(3,0,1)，

有＝(3,0,0)，

又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，

所以·＝0，·＝0，

從而ME⊥BB₁，ME⊥BC.

又BB₁∩BC＝B，

故ME⊥平面BCC₁B₁.

(3)設向量＝(x，y,3)且BP⊥截面EBFD₁，

于是⊥，⊥.

而＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，

得·＝3x＋3＝0，·＝3y＋6＝0，

解得x＝－1，y＝－2，

所以＝(－1，－2,3).

又＝(3,0,0)且BA⊥平面BCC₁B₁，

所以和的夾角等于θ或π－θ(θ為銳角).

于是cosθ＝＝.

故tanθ＝.