Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），過點(diǎn)D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使 恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個(gè)定值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：

（2）解：

所以k的取值范圍是：

（3）解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）則x1+x2=﹣

又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4

=﹣ ，

y1+y2=（kx1+2）+（kx2+2）

=k（x1+x2）+4

=

設(shè)存在點(diǎn)E（0，m），則 ，

所以

=

=

要使得 =t（t為常數(shù)），

只要 =t，

從而（2m2﹣2﹣2t）k2+m2﹣4m+10﹣t=0

即

由（1）得 t=m2﹣1，

代入（2）解得m= ，從而t= ，

故存在定點(diǎn) ，使 恒為定值

【解析】（1）直接求出a，b；（2）利用一元二次方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解的條件；（3）利用設(shè)而不求的方法，設(shè)出要求的常數(shù)，并利用多項(xiàng)式的恒等條件（相同次項(xiàng)的系數(shù)相等）