【題目】已知圓
過定點
，圓心在拋物線
上，
、
為圓與
軸的交點.
（1）求圓半徑的最小值；
（2）當圓心在拋物線上運動時，
是否為一定值？請證明你的結論；
（3）當圓心在拋物線上運動時，記
，
，求
的最大值，并求此時圓的方程.
【答案】（1）
；（2）
，證明見解析；（3）
，
【解析】
（1）設半徑為
，根據拋物線方程設出圓心坐標，然后根據圓心和定點寫出半徑的表達式，計算的最小值即可；
（2）根據（1）中的表示，寫出圓的方程，令
計算出
的橫坐標，計算
是否為定值即可證明；
（3）計算出
的值，然后利用已求的值對
進行化簡，再根據基本不等式確定最大值，從而求出圓心坐標和半徑確定出圓的方程.
（1）設圓心坐標為
，半徑為，所以
，取等號時
，所以；
（2）因為圓心坐標為，半徑
，所以圓的方程為：
，
令，所以
，所以
，所以
，所以
為定值
；
（3）由（2）可知：取
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
的最大值為，
取等號時
，所以
，所以圓心坐標為
，半徑
，
所以圓的方程為：.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線
上的動點
到點
的距離與到直線
的距離相等．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）過點
分別作射線
、
交曲線于不同的兩點
、
，且以
為直徑的圓經過點
．試探究直線是否過定點？如果是，請求出該定點；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，
是一塊邊長為7米的正方形鐵皮，其中
是一半徑為6米的扇形，已經被腐蝕不能使用，其余部分完好可利用．工人師傅想在未被腐蝕部分截下一個有邊落在BC與CD上的長方形鐵皮
，其中P是
上一點．設
，長方形的面積為S平方米．
（1）求S關于
的函數解析式；
（2）設
，求S關于t的表達式以及S的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知兩個無窮數列
和
的前
項和分別為
、
，
，
，對任意的
，都有
.
（1）求數列的通項公式；
（2）若為等差數列，對任意的，都有
，證明：
；
（3）若為等比數列，
，
，求滿足
（
）的的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】數列
的前
項和為
，若數列的各項按如下規律排列：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，…，
，
， …，
，…有如下運算和結論：①
；②數列
，
，
，
，…是等比數列；③數列，，，，…的前項和為
；④若存在正整數
，使
，
，則
．其中正確的結論是_____．（將你認為正確的結論序號都填上）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知AB是圓O的直徑，C，D是圓上不同兩點，且
，
，
圓O所在平面．
（1）求直線PB與CD所成角；
（2）若PB與圓O所在平面所成角為
，且
，求二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某電動車售后服務調研小組從汽車市場上隨機抽取20輛純電動汽車調查其續駛里程（單次充電后能行駛的最大里程），被調查汽車的續駛里程全部介于50公里和300公里之間，將統計結果分成5組：
，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求續駛里程在
的車輛數；
（2）求續駛里程的平均數；
（3）若從續駛里程在的車輛中隨機抽取2輛車，求其中恰有一輛車的續駛里程在
內的概率.
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