Question

已知定義在區間（0，+∞）上的函數f(x)滿足f(=f(x₁)-f(x₂)，且當x＞1時，f(x)＜0.
（1）求f(1)的值；
（2）判斷f(x）的單調性；
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.

Answer 1

（1）0（2）函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減函數.（3）不等式的解集為{x|x＞9或x＜-9}

（1）令x₁=x₂＞0,
代入得f(1)=f(x₁)-f(x₁)=0,故f(1)=0.
（2）任取x₁,x₂∈(0,+∞)，且x₁＞x₂,則＞1,
由于當x＞1時，f(x)＜0,
所以f＜0,即f(x₁)-f(x₂)＜0,
因此f(x₁)＜f(x₂),
所以函數f(x)在區間(0,+∞)上是單調遞減函數.
（3）由f()=f(x₁)-f(x₂)得
f(=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.
由于函數f(x)在區間（0,+∞）上是單調遞減函數，
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集為{x|x＞9或x＜-9}.