Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0).

(1)若橢圓的長軸長為4,離心率為,求橢圓的標準方程.

(2)在(1)的條件下,設過定點M(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點A,B,且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點),求直線l的斜率k的取值范圍.

(3)過原點O任意作兩條互相垂直的直線與橢圓+=1(a>b>0)相交于P,S,R,Q四點,設原點O到四邊形PQSR一邊的距離為d,試求d=1時a,b滿足的條件.

 

Answer 1

(1) +y2=1 (2) k∈(-2,-)∪(,2) (3) +=1

【解析】(1)由已知2a=4,∴a=2,

又e==,∴c=.

因此,b2=a2-c2=4-3=1,

∴橢圓的標準方程為+y2=1.

(2)顯然直線x=0不滿足題設條件,

可設直線l:y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2).

由消去y得(1+4k2)x2+16kx+12=0.

∵Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0,

∴k∈(-∞,-)∪(,+∞)　①

又x1+x2=,x1x2=,

由0°<∠AOB<90°⇒·>0,

∴·=x1x2+y1y2>0,

所以·=x1x2+y1y2

=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)

=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4,

∴-2<k<2　②

由①②得k∈(-2,-)∪(,2).

(3)由橢圓的對稱性可知PQSR是菱形,原點O到各邊的距離相等.

當P在y軸上,Q在x軸上時,直線PQ的方程為+=1,由d=1得+=1,

當P不在y軸上時,設直線PS的斜率為k,P(x1,kx1),則直線RQ的斜率為-,Q(x2,-x2),

由得=+　①

同理=+ ②

在Rt△OPQ中,由d·|PQ|=|OP|·|OQ|,

即|PQ|2=|OP|2·|OQ|2.

所以(x1-x2)2+(kx1+)2

=[+(kx1)2]·[+()2],

化簡得+=1+k2,

k2(+)++=1+k2,

即+=1.

綜上,+=1.

【方法技巧】平面向量在平面解析幾何中的應用

平面向量作為數學解題的工具,常與平面解析幾何結合綜合考查,主要涉及向量的數量積、夾角、長度、距離等方面的知識,應用方向主要是平面內點的坐標與對應向量數量積的轉化,通過數量積運算尋找等量關系,使問題轉化,從而使問題獲解.