Question

已知二次函數(shù)y=ax²+2bx+c，其中a＞b＞c且a+b+c=0．
（1）求證：此函數(shù)的圖象與x軸交于相異的兩個(gè)點(diǎn)．
（2）設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得線段的長為l，求證：

3

＜l＜2

3

．

Answer 1

證明：（1）由a+b+c=0得b=-（a+c）．
△=（2b）²-4ac=4（a+c）²-4ac
=4（a²+ac+c²）=4[（a+

c

2

）²+

3

4

c²]＞0．
故此函數(shù)圖象與x軸交于相異的兩點(diǎn)．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
l=|x₁-x₂|=

4( c a + 1 2 )2+3

．
由二次函數(shù)的性質(zhì)知l∈（

3

，2

3

）．