Question

(本題滿分12分)
已知橢圓的左、右焦點為，過點斜率為正數的直線交兩點，且成等差數列。
（Ⅰ）求的離心率；
（Ⅱ）若直線y=kx（k<0）與交于C、D兩點，求使四邊形ABCD面積S最大時k的值。

Answer 1

（Ⅰ）根據橢圓定義及已知條件，有
|AF₂|＋|AB|＋|BF₂|＝4a，                                                                                           ①
|AF₂|＋|BF₂|＝2|AB|，                                                                                                  ②
|AF₂|²＋|AB|²＝|BF₂|²，                                                                                     ③…3分
由①、②、③，解得|AF₂|＝a，|AB|＝a，|BF₂|＝a，
所以點A為短軸端點，b＝c＝a，Γ的離心率e＝＝．…………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程為x²＋2y²＝a²．                                          
不妨設C(x₁，y₁)、D(x₂，y₂)（x₁＜x₂），
則C、D坐標滿足
由此得x₁＝－，x₂＝．
設C、D兩點到直線AB：x－y＋a＝0的距離分別為d₁、d₂，
因C、D兩點在直線AB的異側，則
d₁＋d₂＝＋＝
＝＝＝．………………………8分
∴S＝|AB|( d₁＋d₂)＝·a·＝·．
設t＝1－k，則t＞1，＝＝，
當＝，即k＝－時，最大，進而S有最大值．……………………12分

略