Question

我國是一個人口大國，隨著時間推移，老齡化現象越來越嚴重，為緩解社會和家庭壓力，決定采用養老儲備金制度．公民在就業的第一年交納養老儲備金，數目為a1，以后每年交納的數目均比上一年增加d(d>0)，因此，歷年所交納的儲備金數目a1，a2，…，an是一個公差為d的等差數列．與此同時，國家給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利．這就是說，如果固定利率為r(r>0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變為a1(1＋r)n－1，第二年所交納的儲備金就變為a2(1＋r)n－2，…，以Tn表示到第n年所累計的儲備金總額．

(1)寫出Tn與Tn－1(n≥2)的遞推關系式；

(2)求證：Tn＝An＋Bn，其中{An}是一個等比數列，{Bn}是一個等差數列．

 

Answer 1

（1）Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)（2）見解析

【解析】(1)【解析】
由題意可得：Tn＝Tn－1(1＋r)＋an(n≥2)．

(2)證明：T1－a1，對n≥2反復使用上述關系式，得

Tn＝Tn－1(1＋r)＋an＝Tn－2(1＋r)2＋an－1(1＋r)＋an＝…＝a1(1＋r)n－1＋a2(1＋r)n－2＋…＋an－1(1＋r)＋an，①

在①式兩端同乘1＋r，得

(1＋r)Tn＝a1(1＋r)n＋a2(1＋r)n－1＋…＋an－1(1＋r)2＋an(1＋r)，②

②－①，得rTn＝a1(1＋r)n＋d[(1＋r)n－1＋(1＋r)n－2＋…＋(1＋r)]－an＝[(1＋r)n－1－r]＋a1(1＋r)n－an.

即Tn＝(1＋r)n－n－.

如果記An＝(1＋r)n，Bn＝－－n，則Tn＝An＋Bn.其中{An}是以(1＋r)為首項，以1＋r(r>0)為公比的等比數列；{Bn}是以－－為首項，以－為公差的等差數列