Question

【題目】如圖，的三條垂線、、交于點(diǎn)，是內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：、、的外心、、三點(diǎn)共線.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

證法1 如圖，過(guò)點(diǎn)作直線、、，與的三邊、、所在的直線分別交于點(diǎn)、、，聯(lián)結(jié)、、.則易知這三條線段的中點(diǎn)分別是、、的外心、、.

首先證明：、、三點(diǎn)共線.

利用以下性質(zhì)：若平面上一個(gè)角的兩邊與另一角的兩邊對(duì)應(yīng)垂直，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

故，，

.

則

.

根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理知，、、三點(diǎn)共線.

接下來(lái)證明：、、三點(diǎn)共線.

作出的三邊、、的中點(diǎn)，分別記為、、.易知、、和、、和、、分別三點(diǎn)共線.則，，.

故.

根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理知，、、三點(diǎn)共線.

證法2 點(diǎn)對(duì)的外接圓的冪為，對(duì)的外接圓的冪為，對(duì)的外接圓的冪為.由，，知、、、四點(diǎn)共圓.則

.

同理，，即點(diǎn)對(duì)三個(gè)圓的冪相同.

又顯然點(diǎn)也對(duì)三個(gè)圓的冪相同，于是，直線是三個(gè)圓中任意兩個(gè)圓的根軸（公共弦所在的直線）.

因此，、、的外接圓除點(diǎn)外還有一個(gè)公共點(diǎn)，且通過(guò)點(diǎn).

由連心線垂直平分公共弦知，、、三點(diǎn)均在線段的垂直平分線上.