Question

若直線l：與拋物線交于A、B兩點，O點是坐標原點。
(1)當m=－1,c=－2時，求證：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求證：直線l恒過定點；并求出這個定點坐標。
(3)當OA⊥OB時，試問△OAB的外接圓與拋物線的準線位置關系如何？證明你的結論。

Answer 1

解：設A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，由得
可知y₁+y₂=－2m  y₁y₂="2c  " ∴x₁+x₂=2m²—2c  x₁x₂= c²,
(1)當m=－1,c=－2時，x₁x₂ +y₁y₂="0" 所以OA⊥OB.
(2)當OA⊥OB時，x₁x₂ +y₁y₂="0" 于是c²+2c="0" ∴c=－2(c=0不合題意),此時，直線l：過定點(2,0).
(3)由題意AB的中點D(就是△OAB外接圓圓心)到原點的距離就是外接圓的半徑。
而(m²—c+)²－[(m²—c)²+m² ]= 由(2)知c=－2 
∴圓心到準線的距離大于半徑,故△OAB的外接圓與拋物線的準線相離。

略