Question

【題目】已知函數.

（1）若關于的方程有兩個不同的實數根，求證:；

（2）若存在使得成立，求實數的取值范圍.（其中為自然對數的底數，）

Answer 1

【答案】(1)見解析； （2）.

【解析】

（１）設，將“方程有兩個不同的實數根”轉化為“函數和有兩個不同的交點”，進而轉化為求的最值問題，得出m的取值范圍，問題即可解決。（2）首先“存在使得成立”的問題轉化為“存在使得成立”，從而轉化為求的最大值問題，利用導數研究其單調性并求其最值，即可解決問題。

（1）若方程有兩個不同的實數根，即有兩個不同的實數根，

令，即函數和有兩個不同的交點，

而，

令，解得:，令，解得，

故在上遞減，在上遞増，

故，故，

故.

（2）若存在使得成立，

即存在使得成立，

令，則，

易得，

令，解得:，令，解得，

故在遞減，在遞增，

故的最大值是或，

而，

故.