【題目】若方程
有實(shí)數(shù)根
，則稱為函數(shù)
的一個(gè)不動點(diǎn).已知函數(shù)
（
為自然對數(shù)的底數(shù)）
.
（1）當(dāng)
時(shí)是否存在不動點(diǎn)？并證明你的結(jié)論；
（2）若
，求證有唯一不動點(diǎn).
【答案】（1）
不存在不動點(diǎn)；證明見解析（2）證明見解析
【解析】
（1）將問題轉(zhuǎn)化為求方程
的根，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及最小值，即可容易證明；
（2）根據(jù)不動點(diǎn)的定義，結(jié)合（1）中的思路，即可容易求證.
（1）當(dāng)
時(shí)，不存在不動點(diǎn).
證明：由
可得：，
令
，
，
則
，
∵
，∴
當(dāng)
時(shí)，
，
在
上單調(diào)遞減，
當(dāng)
時(shí)，
，在
上單調(diào)遞增，
所以
.所以方程無實(shí)數(shù)根
故不存在不動點(diǎn).
（2）當(dāng)
時(shí)，
，，
則
，
再令
，∴
當(dāng)時(shí)，
，
在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，
，在上單調(diào)遞增，
∴
故當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以
.
所以
有唯一實(shí)數(shù)根
，
故有唯一不動點(diǎn).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問題的一般解法：如圖1，用對角線將長和寬分別為
和
的矩形分成兩個(gè)直角三角形，每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形（黃）和兩個(gè)小直角三角形（朱、青）．將三種顏色的圖形進(jìn)行重組，得到如圖2所示的矩形．該矩形長為
，寬為內(nèi)接正方形的邊長
．由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論，如圖3．設(shè)
為斜邊
的中點(diǎn)，作直角三角形
的內(nèi)接正方形對角線
，過點(diǎn)
作
于點(diǎn)
，則下列推理正確的是（ ）
①由圖1和圖2面積相等得
；
②由
可得
；
③由
可得
；
④由
可得
．
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
.
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
圖象在
處的切線方程；
（2）若對任意
，不等式
恒成立，求
的取值范圍；
（3）若存在極大值和極小值，且極大值小于極小值，求的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），
，
為曲線上的一動點(diǎn).
（I）求動點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)從
變動到
時(shí)，線段
所掃過的圖形面積；
（Ⅱ）若直線與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為
，是否存在點(diǎn)，使得為線段
的中點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為
（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝16cosθ.
（1）把曲線C2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；
（2）求C1與C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo).
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知定義在
上的函數(shù)
滿足
，當(dāng)
時(shí)
，則關(guān)于函數(shù)有如下四個(gè)結(jié)論：①為偶函數(shù)；②的圖象關(guān)于直線
對稱；③方程
有兩個(gè)不等實(shí)根；④
其中所有正確結(jié)論的編號是_______．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
的導(dǎo)函數(shù)
是偶函數(shù)，若方程
在區(qū)間
(其中
為自然對數(shù)的底)上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)
的取值范圍是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】函數(shù)
是
上的偶函數(shù)，且
，若在
上單調(diào)遞減，則函數(shù)在
上是（ ）
A. 增函數(shù) B. 減函數(shù) C. 先增后減的函數(shù) D. 先減后增的函數(shù)
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某校高一
班的一次數(shù)學(xué)測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖．
1
求分?jǐn)?shù)在
的頻數(shù)及全班人數(shù)；
2求分?jǐn)?shù)在
之間的頻數(shù)，并計(jì)算頻率分布直方圖中間矩形的高；
3若要從分?jǐn)?shù)在
之間的試卷中任取兩份分析學(xué)生失分情況，求在抽取的試卷中，至少有一份分?jǐn)?shù)在
之間的概率．
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