Question

（2012•長寧區二模）設拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，過F且垂直于x軸的直線與拋物線交于P₁，P₂兩點，已知|P₁P₂|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設m＞0，過點M（m，0）作方向向量為

d

=(1，

3

)的直線與拋物線C相交于A，B兩點，求使∠AFB為鈍角時實數m的取值范圍；
（3）①對給定的定點M（3，0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？若存在，請求出這條直線；若不存在，請說明理由．
②對M（m，0）（m＞0），過M作直線與拋物線C相交于A，B兩點，問是否存在一條垂直于x軸的直線與以線段AB為直徑的圓始終相切？（只要求寫出結論，不需用證明）

Answer 1

分析：（1）根據|P₁P₂|=8，可得2p=8，從而可得拋物線C的方程；
（2）直線方程代入y²=8x得一元二次方程，用坐標表示向量，利用∠AFB為鈍角，可得

FA

•

FB

＜0，從而可得不等式，由此可求實數m的取值范圍；
（3）①設過M所作直線方程為y=k（x-3）代入y²=8x，求出|AB|，設存在直線x=x₀滿足條件，則可得(3-x0)2k4+8(3-x0)k2+16=24k4+40k2+16對任意k恒成立，此時直線不存在；②對參數m討論，可得結論．

解答：解：（1）由條件得2p=8，∴拋物線C的方程為y²=8x；…．（4分）
（2）直線方程為y=

3

(x-m)代入y²=8x得3x²-（6m+8）x+3m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），則

FA

=(x1-2，y1)，

FB

=(x2-2，y2)，
∴x1+x2=

6m+8

3

，x1x2=m2．…．（6分）
∵∠AFB為鈍角，∴

FA

•

FB

＜0，∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂＜0，
即x1x2-2(x1+x2)+4+3[x1x2-m(x1+x2)+m2]＜0，
∴4x1x2-(2+3m)(x1+x2)+4+3m2＜0，…．（8分）
因此3m²-36m-4＜0，∴

18-4 21

3

＜m＜

18+4 21

3

，
又由m＞0，則綜上可得m∈(0，2)∪(2，

18+4 21

3

)．…．（10分）
（3）①設過M所作直線方程為y=k（x-3）代入y²=8x得ky²-8y-24k=0，…．（11分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y1+y2=

8

k

，y1y2=-24，
∴

y1+y2

2

=

4

k

，

x1+x2

2

=

4

k2

+3，∴AB中點(

4

k2

+3，

4

k

)，…．（12分）
∴|AB|=

1+ 1 k2

|y1-y2|=

4 1+k2 • 4+6k2

k2

．…．（13分）
設存在直線x=x₀滿足條件，則|

4

k2

+3-x0|=

2 1+k2 • 4+6k2

k2

，…．（14分）
∴(3-x0)2k4+8(3-x0)k2+16=24k4+40k2+16對任意k恒成立，
∴

(3-x0)2=24 8(3-x0)=40

無解，∴這樣的直線不存在．  …．（16分）
②當m=2時，存在直線x=-2滿足條件；…．（17分）
當m≠2且m＞0時，直線不存在．      …．（18分）

點評：本題考查拋物線的標準方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查向量知識的運用，正確運用韋達定理是關鍵．