Question

已知橢圓的左、右焦點分別是，是橢圓外的動點，滿足，點是線段與該橢圓的交點，點在線段上，并且滿足，．

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）試問：在點的軌跡上，是否存在點，使的面積，若存在，求的正切值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）點的軌跡的方程是．

（Ⅱ）當時，存在點，使，；當時，不存在滿足條件的點。

解析:

（Ⅰ）設點的坐標為．當時，點和點在軌跡上．

當且時，由．得．

又．所以為線段的中點．在中，，所以有．

綜上所述，點的軌跡的方程是．

（Ⅱ）上存在點使的充要條件是

所以，當時，存在點，使；當時，不存在滿足條件的點，當時，，，

由，

，

，得．