Question

在R上定義運算：p?q=-

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3

(p-c)(q-b)+4bc（b、c∈R是常數），已知f₁（x）=x²-2c，f₂（x）=x-2b，f（x）=f₁（x）f₂（x）．
①如果函數f（x）在x=1處有極值-

4

3

，試確定b、c的值；
②求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點；
③記g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，若M≥k對任意的b、c恒成立，試求k的取值范圍．（參考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

Answer 1

分析：①由題意得到f（x）的解析式，求出f′（x）因為在x=1處有極值得到f（1）=-

4

3

，f′（1）=0求出b、c即可；（2）因為切線的斜率為c，則解出f′（t）=c時t的值得到切點坐標，寫出切線方程與曲線解析式聯立求出公共點可知公共點的個數；（3）根據題意得到g（x）的解析式，利用已知求出g（x）的最大值M，利用M≥k列出不等式求出k的取值范圍即可．

解答：解：①依題意f(x)=-

1

3

x3+bx2+cx+bc，
解

f(1)=- 4 3 f/(1)=0

得

b=1 c=-1

或

b=-1 c=3

．
若

b=1 c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，
′（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上單調遞減，
在x=1處無極值；若

b=-1 c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，
f′（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），直接討論知，
f（x）在x=1處有極大值，所以

b=-1 c=3

為所求．
②解f′（t）=c得t=0或t=2b，切點分別為（0，bc）、(2b，3bc+

4

3

b3)，
相應的切線為y=cx+bc或y=cx+bc+

4

3

b3．
解cx+bc=-

1

3

x3+bx2+cx+bc
得x=0或x=3b；
解cx+bc+

4

3

b3=-

1

3

x3+bx2+cx+bc
即x³-3bx²+4b³=0
得x=-b或x=2b．
綜合可知，b=0時，斜率為c的切線只有一條，與曲線的公共點只有（0，0），b≠0時，
斜率為c的切線有兩條，與曲線的公共點分別為（0，bc）、（3b，4bc）和
(2b，

4

3

b 3+3bc)、(-b，

4

3

b3)．
③g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，則f′（x）在[-1，1]是單調函數，
M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，
因為f′（1）與f′（-1）之差的絕對值|f′（1）-f′（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．
若|b|≤1，f′（x）在x=b∈[-1，1]取極值，
則M=max{|f′（-1）|，|f′（1）|，|f′（b）|}，f′（b）-f′（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f′（1）≤f′（-1）≤f′（b
M=max{|f/(1)|，|f/(b)|}≥

1

2

|f/(1)-f/(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f′（-1）≤f′（1）≤f′（b），
M=max{|f′（-1）|，|f′（b）|}≥

1

2

|f/(-1)-f/(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
當b=0，c=

1

2

時，g(x)=|f/(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．
所以，k的取值范圍是(-∞，

1

2

]．

點評：考查學生利用導數研究函數極值的能力，會利用導數求曲線上某一點的切線方程的能力．