Question

【題目】定義區間，，，的長度均為，多個區間并集的長度為各區間長度之和，例如, 的長度. 用表示不超過的最大整數，記，其中.設，，當時,不等式解集區間的長度為，則的值為

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

先化簡f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化簡f（x）＜g（x），再分類討論：①當x∈[0，1）時，②當x∈[1，2）時③當x∈[2，3）時，從而得出f（x）＜g（x）在0≤x≤k時的解集的長度，依題意即可求得k的值．

f（x）=[x]{x}=[x]（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，

f（x）＜g（x）[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，

當x∈[0，1）時，[x]=0，上式可化為x＞1，

∴x∈；

當x∈[1，2）時，[x]=1，上式可化為0＞0，

∴x∈；

當x∈[2，3）時，[x]=2，[x]﹣1＞0，上式可化為x＜[x]+1=3，

∴當x∈[0，3）時，不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為d=3﹣2=1；

同理可得，當x∈[3，4）時，不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為d=4﹣2=2；

∵不等式f（x）＜g（x）解集區間的長度為5，

∴k﹣2=5，∴k=7．

故答案為：B．