Question

如圖，多面體ABCD-EFC中，底面ABCD為正方形，GD∥FC∥AE，AE⊥平面ABCD，其正視圖、俯視圖如下，
（Ⅰ）求證：平面AEF⊥平面BDG；
（Ⅱ）若存在λ＞0，使，KF與平面ABG所成角為30°，求λ的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）連接AC，BD，在正方形ABCD中，AC⊥BD，
又GD⊥面ABCD，
又AC面ABCD，
則AC⊥GD，
又AC⊥BD，GD∩BD=D，
則AC⊥面BDG，
又AC面AEFC，
故面AEFC⊥面BDG；
（Ⅱ）由三視圖知四邊形DCFG為平行四邊形FG∥CD且FG=CD，
在正方形ABCD中，AB∥CD且AB=CD
FG∥AB且FG=ABA，B，G，F共面平面ABG，
即平面ABFGKF∩平面ABG=F，
作KO⊥AG于O，連接FO，
AB⊥平面AEGD，
又AE∥GDAE，GD共面于AEGD，
KO平面AEGDKO⊥平面ABG
FO為KF在平面ABC的射影∠KFO為KF與平面ABG所成角，
由已知可得∠KFO=30°，AE=1，
∴AK=λ，
由三視圖知AD=DG=2，
∴∠DAG=45°，
∴，∴，
∴Rt△FGO中，，
，
∴λ=2或λ=-6（舍）。