Question

在銳角三角形ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對的邊，且滿足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=

7

，c=2，求

AB

•

AC

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理，求出角B的正弦函數值，然后求出角B的大小；
（Ⅱ）利用b=

7

，c=2，通過余弦定理求出a，求出A，然后求

AB

•

AC

的值．

解答：解：（Ⅰ）由

3

a-2bsinA=0，
根據正弦定理得：

3

sinA-2sinBsinA=0．…（3分）
因為sinA≠0，所以sinB=

3

2

．…（5分）
又B為銳角，則B=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，B=

π

3

．
因為b=

7

，c=2，
根據余弦定理，得 7=a2+4-4acos

π

3

，…（8分）
整理，得a²-2a-3=0．由于a＞0，得a=3． …（10分）
于是cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

7+4-9

4 7

=

7

14

，…（11分）
所以 

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=cbcosA=2×

7

×

7

14

=1． …（14分）

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應用，向量的數量積的應用，考查計算能力．