Question

(

1

2

x+1)¹⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，其中a_k （k=0，1，2，…，9，10）都是常數，則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=

5

．

Answer 1

分析：首先將(

1

2

x+1)¹⁰變形為（

1

2

）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰，再利用二項式定理展開可得(

1

2

x+1)¹⁰=（

1

2

）¹⁰+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；結合題意，可得a₁=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹，a₂=（

1

2

）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，進而可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²+…（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰=（

1

2

）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，由二項式系數的性質，可得a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰×10×[C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹]=（

1

2

）¹⁰×10×2⁹，計算可得答案．

解答：解：(

1

2

x+1)¹⁰=（

1

2

）¹⁰[1+（x+1）]¹⁰=（

1

2

）¹⁰+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹（1+x）¹+（

1

2

）¹⁰C₁₀²（1+x）²+…+（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰（1+x）¹⁰；
根據題意，(

1

2

x+1)¹⁰=a₀+a₁（x+1）+a₂（x+1）²+…+a₉（x+1）⁹+a₁₀（x+1）¹⁰，
則a₀=（

1

2

）¹⁰，a₁=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹，a₂=（

1

2

）¹⁰C₁₀²，…a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，
則a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰C₁₀¹+2（

1

2

）¹⁰C₁₀²+…+10（

1

2

）¹⁰C₁₀¹⁰，
=（

1

2

）¹⁰[C₁₀¹+2C₁₀²+…+10C₁₀¹⁰]，
又由mC_n^m=nC_n-1^m-1，則C₁₀¹=10C₉⁰，2C₁₀²=10C₉¹，…，10C₁₀¹⁰=10C₉⁹，
即a₁+2a₂+3a₃+…+9a₉+10a₁₀=（

1

2

）¹⁰×10×[C₉⁰+C₉¹+…+C₉⁹]=（

1

2

）¹⁰×10×2⁹=5；
故答案為5．

點評：本題考查二項式定理的運用，解題的關鍵要靈活運用二項式系數的性質．