Question

（滿分16分）
記函數f(x)的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點為函數圖象上的不動點。
（1）若函數的圖象上有兩個關于原點對稱的不動點，求應滿足的條件；
（2）下述結論“若定義在Ｒ上的奇函數f(x)的圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個”是否正確？若正確，請給予證明，并舉出一例；若不正確，請舉出一反例說明

Answer 1

（1）
（2）證明略

解：（1）由， …………………………………………2分
整理得   ……………………………………4分
由題意知方程（*）有兩個互為相反數的根，所以即………6分
，，……………………………………………………8分
故應滿足且……………………………………………………10分
（2）結論正確。……………………………………………………12分
證明：為奇函數，，取，得，
即（0,0）為函數的一個不動點，設函數除0以外還有不動點，
則
又，故也為函數的不動點。…………………14分
綜上，若定義在R上的奇函數圖象上存在有限個不動點，則不動點有奇數個。
例如：。…………………………………………………16分