Question

如圖所示，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為a，側棱長為

2

2

a，D是棱A₁C₁的中點．
（Ⅰ）求證：BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求二面角A₁-AB₁-D的大小；
（Ⅲ）求點C₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

分析：（I）要證線面平行，先證線與線平行，連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點，得到D為A₁C₁的中點，得到DE為△A₁BC₁的中位線，得到平行．
（II）先做出二面角的平面角，根據由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角的平面角，根據三角形相似，求出三角形的角度大小，就得到二面角的平面角．
（III）要求點到面的距離，根據同一個幾何體的體積相等，其中一個幾何體的高就是要求的點到面的距離，解方程得到結果．

解答：解：（Ⅰ） 連接A₁B與AB₁交于E，則E為A₁B的中點，
∵D為A₁C₁的中點，
∴DE為△A₁BC₁的中位線，
∴BC₁∥DE
又DE?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴BC ₁∥平面AB₁D
（Ⅱ）過D作DF⊥A₁B₁于F，由正三棱柱的性質可知，
DF⊥平面AB₁，連接EF，DE，在正△A₁B₁C₁中，
B1D=

3

2

，A1B1=

3 a

2

在直角三角形AA₁D中，AD=

3 a

2

∴AD=B₁D，DE⊥AB₁
由三垂線定理的逆定理可得EF⊥AB₁．則∠DEF為二面角的平面角，
又得DF=

3

4

a
∵△B₁FE∽△B₁AA₁
∴EF=

3

4

a
∴∠DEF=

π

4

故所求二面角的大小為

π

4

（Ⅲ）設求點C₁到平面AB₁D的距離h
因AD²+DB₁²=AB₁²，所以AD⊥DB₁，
故VC1-AB1D=VA-C1B1D
∴

1

3

S△AB1D•h=

1

3

s△c1B1D     •A₁A
∴h=

6

6

a
即點C₁到平面AB₁D的距離是

6

6

a

點評：本題考查二面角的平面角及求法，解題的關鍵是看出二面角的平面角，把平面角放到一個可解的三角形中，本題還利用等體積法求點到面的距離．