Question

如圖正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面邊長為2，側棱長為

2

，
經過對角線AB₁的平面交棱A₁C₁于點D．
（Ⅰ）試確定D點的位置使平面AB₁D∥BC₁，并證明你的結論；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求二面角A₁-AB₁-D的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖形判斷知，D為A₁C₁中點時平面AB₁D∥BC₁，證明用線面平行的判定定理即可．
（II）在圖形中作出二面角的平面角，要充分利用已有的結論，作DM⊥A₁B₁于M，連接ME，證出角MED即平面角．

解答：解：（Ⅰ）D為棱A₁C₁中點時平面AB₁D∥BC₁，證明如下：
連接AB₁，與線AB₁交于點E，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁
∴E是中點，又D中點，
故DE是三角形A₁BC₁的中位線，故DE∥BC₁，
又BC₁不在平面AB₁D內，DE在面AB₁D內，
由線面平行的判定定理知平面AB₁D∥BC₁
（II）若D是中點，由題設條件AD=

3

，B₁D=

3

，
在等腰直角三角形B₁DA中，E是斜邊中點，故DE⊥AB₁，計算得AB₁=

6

，故DE=

6

2

作DM⊥A₁B₁于M，連接ME，因為正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以DM⊥面AA₁B₁B，即DM⊥AB₁，所以面DME⊥AB₁，
所以∠MED即二面角的平面角，由D是中點，所以DM=

3

2

在直角三角形DME中，sin∠MED=

MD

DE

=

3 2

6 2

=

2

2

所以∠MED=

π

4

點評：考查正三棱柱的幾何性質、線面平行的判定定理、二面角的求法，技巧性強，對空間想象力要求較高．