Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AA₁=AD=1，E為CD中點．
（Ⅰ）求證：B₁E⊥AD₁；
（Ⅱ）在棱AA₁上是否存在一點P，使得DP∥平面B₁AE？若存在，求AP的長；若不存在，說明理由．
（Ⅲ）若二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，求AB的長．

Answer 1

（I）以A為原點，

AB

，

AD

，

AA1

的方向為X軸，Y軸，Z軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖，
設AB=a，則A（0，0，0），D（0，1，0），D₁（0，1，1），E（

a

2

，1，0），B₁（a，0，1）
故

AD1

=（0，1，1），

B1E

=（-

a

2

，1，-1），

AB1

=（a，0，1），

AE

=（

a

2

，1，0），
∵

AD1

•

B1E

=1-1=0
∴B₁E⊥AD₁；
（II）假設在棱AA₁上存在一點P（0，0，t），使得DP∥平面B₁AE．此時

DP

=（0，-1，t）．
又設平面B₁AE的法向量

n

=（x，y，z）．
∵

n

⊥平面B₁AE，∴

n

⊥B₁A，

n

⊥AE，得

ax+z=0 ax 2 +y=0

，取x=1，得平面B₁AE的一個法向量

n

=（1，-

a

2

，-a）．
要使DP∥平面B₁AE，只要

n

⊥

DP

，即有

n

•

DP

=0，有此得

a

2

-at=0，解得t=

1

2

，即P（0，0，

1

2

），
又DP?平面B₁AE，
∴存在點P，滿足DP∥平面B₁AE，此時AP=

1

2

（III）連接A₁D，B₁C，由長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁及AA₁=AD=1，得AD₁⊥A₁D．
∵B₁C∥A₁D，∴AD₁⊥B₁C．
由（I）知，B₁E⊥AD₁，且B₁C∩B₁E=B₁．
∴AD₁⊥平面DCB₁A₁，
∴AD₁是平面B₁A₁E的一個法向量，此時

AD1

=（0，1，1）．
設

AD1

與

n

所成的角為θ，則cosθ=

AD1 • n

| AD1 || n |

=

- a 2 -a

2 1+ a2 4 +a2

∵二面角A-B₁E-A₁的大小為30°，
∴|cosθ|=cos30°=

3

2

即

- a 2 -a

2 1+ a2 4 +a2

=

3

2

，解得a=2，即AB的長為2