Question

已知函數f（x）=x³+ax²+x+1，a∈R．
（1）若函數f（x）在x=-1處取得極值，求a的值；
（2）在滿足（1）的條件下，探究函數f（x）零點的個數；如果有零點，請指出每個零點處于哪兩個連續整數之間，并說明理由；
（3）討論函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析：（1）先求函數f（x）的導函數，再根據函數f（x）在x=-1處取得極值得到f'（-1）=0，解方程即可；
（2）先求出f′（x）=0的值，再討論滿足f′（x）=0的點附近的導數的符號的變化情況，來確定極值，發現極值都大于零，從而函數f（x）有零點且只有一個，又函數f（x）在[-2，-1]上連續，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數f（x）的零點介于-2和-1之間．
（3）討論a的值，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區間即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+1
因為函數f（x）在x=-1處取得極值所以f'（-1）=0
解得a=2
（2）由（1）知f（x）=x³+2x²+x+1f'（x）=3x²+4x+1
令f'（x）=3x²+4x+1=0解得x=-1，x=-

1

3

從上表可以看出f(x)極小值=

23

27

＞0 ，?f(x)極大值=1＞0，
所以函數f（x）有零點且只有一個
又函數f（x）在[-2，-1]上連續，且f（-1）=1＞0，f（-2）=-1＜0，所以函數f（x）的零點介于-2和-1之間．
（3）f'（x）=3x²+2ax+1△=4a²-12=4（a²-3）
當a²≤3，即-

3

＜a＜

3

時，△≤0，f'（x）≥0，所以函數f（x）在R上是增函數
當a²＞3，即a＞

3

或a＜-

3

時，△＞0，解f'（x）=0得兩根為x1=

-a- a2-3

3

，x2=

-a+ a2-3

3

（顯然x₁＜x₂）
當x∈（-∞，x₁）時f'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時f'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時f'（x）＞0
所以函數f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數；
在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數
綜上：當-

3

＜a＜

3

時，函數f（x）在R上是增函數；
當a＞

3

或a＜-

3

時，函數f（x）在(-∞，

-a- a2-3

3

)，(

-a+ a2-3

3

，+∞)上是增函數；在(

-a- a2-3

3

，

-a+ a2-3

3

)上是減函數

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及函數的零點和函數在某點取得極值的條件，屬于基礎題．