Question

已知log_ax+3log_xa-log_xy=3（a＞1）
（1）若設x=a^t，試用a、t表示y
（2）若y有最小值8，求a的值．

Answer 1

分析：對于（1）若設x=a^t，試用a、t表示y．首先對等式log_ax+3log_xa-log_xy=3利用換底公式化簡為（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y，然后把x=a^t代入化簡即可．
對于（2）y有最小值8，求a的值．先根據（1）所解得的函數y=at2-3t+3，設z=t²-3t+3，然后根據復合函數求最值的方法求出y的最小值a

3

4

，得等式a

3

4

= 8，求解即可得到答案．

解答：解：（1）已知 log_ax+3log_xa-log_xy=3即log_ax+3log_xa-3=log_xy利用換底公式有：log_ax+3log_xa-3=

log y a

log x a

則；（log_a^x）²-3log_a^x+3=log_a^y．
設x=a^t用則：t=log_a^x．
即：t²-3t+3=log_a^y，y=at2-3t+3．
故答案為y=at2-3t+3．．
（2）當0＜t≤2時，y有最小值8，
設z=t²-3t+3．則y=a^z，因為a＞1所以函數y=a^z關于z單調遞增．則z取最小值的時候y取最小值．
下求z的最小值，因為z=t²-3t+3，是開口向上的拋物線．則在對稱軸取t=

3

2

得最小值z=

3

4

．代入函數y=a^z的最小值為y=a

3

4

．
因為y有最小值8，則a

3

4

= 8，a=16．
故答案為a=16．

點評：此題主要考查對數函數的運算問題，其中涉及到復合函數求最值的方法，在高考中屬于重點考點，需要同學們理解并掌握．