Question

若定義在區間D上的函數y=f（x）對于區間D上的任意兩個值x₁、x₂總有以下不等式

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）成立，則稱函數y=f（x）為區間D上的凸函數．
（1）證明：定義在R上的二次函數f（x）=ax²+bx+c（a＜0）是凸函數；
（2）設f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0），并且x∈[0，1]時，f（x）≤1恒成立，求實數a的取值范圍，并判斷函數
f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數；
（3）定義在整數集Z上的函數f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x+y）=f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）=2．
試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數f（x）是不是R上的凸函數說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用作差法證明，即要證：

f(x1)+f(x2)

2

≤f(

x1+x2

2

)，只要證：[f(x1)+f(x2)]-2f(

x1+x2

2

)≤0；
（2）首先根據自變量的范圍進行分離常數，然后問題就轉化為函數求最值的問題，求最值時利用配方法．根據a的范圍和（1）判斷是否為凸函數；
（3）首先令x=y=0，求出f（0）的值，在令y=-x，可得出f（x）與f（-x）之間的關系，反復利用這個關系數得出f（n）與f（1）的關系，就可得出f（x）的解析式，在利用基本不等式判斷是否為凸函數．

解答：解：（1）證明：對任意x₁，x₂∈R，當a＜0，
有[f（x₁）+f（x₂）]-2f（

x1+x2

2

）=ax₁²+bx₁+c+ax₂²+bx₂+c-2[a（

x1+x2

2

）²+b（

x1+x2

2

）+c]=ax₁²+ax₂²-

1

2

a（x₁²+x₂²+2x₁x₂）=

1

2

a（x₁-x₂）²             （3分）
∴當a＜0時，f（x₁）+f（x₂）≤2f（

x1+x2

2

），即

f(x1)+f(x2)

2

≤f（

x1+x2

2

）
當a＜0時，函數f（x）是凸函數．                                          （5分）
（2）當x=0時，對于a∈R，有f（x）≤1恒成立；當x∈（0，1]時，要f（x）≤1恒成立，即ax²≤-x+1，
∴a≤

1

x2

-

1

x

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

恒成立，∵x∈（0，1]，∴

1

x

≥1，當

1

x

=1時，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

取到最小值為0，
∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范圍是（-∞，0）．
由此可知，滿足條件的實數a的取值恒為負數，由（1）可知函數f（x）是凸函數  （11分）
（3）令x=y=0，則f（0）=[f（0）]²，∵f（0）≠0，∴f（0）=1，（12分）
令y=-x，則1=f（0）=f（x-x）=f（x）f（-x），故f（x）=

1

f(-x)

；
若n∈N*，則f（n）=f[（n-1）+1]=f（n-1）f（1）=2f（n-1）=…=[f（1）]²；          （14分）
若n＜0，n∈Z，則-n∈N^*，∴f（n）=

1

f(-n)

=

1

2-n

=2ⁿ；∴x∈Z時，f（x）=2^x．
綜上所述，對任意的x∈Z，都有f（x）=2^x；                                 （15分）
∵

1

2

[2⁰+2¹]=

3

2

＞

2

，所以f（x）不是R上的凸函數．                       （16分）
（對任意x₁，x₂∈R，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[2x1+2x2]≥

1

2

×2

2x1+x2

=f（

x1+x2

2

），所以f（x）不是R上的凸函數． 16分）

點評：本題給出了數學新定義凸函數，在判斷一個函數是凸函數要根據定義，方法是“作差法”，本題的第一問與第二問緊密聯系解題是要抓住這一點．難點在第三問，怎樣給x，y賦值，怎樣利用好①和②，最終求出解析式．