【題目】已知函數
.
（1）當
且
時，求函數
的單調區間；
（2）若
，關于
的方程
有三個不同的實根，求
的取值范圍.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）
.
【解析】
（1）先求導數，根據導函數的零點情況對參數進行分類討論，研究導函數的正負區間，進而得到函數的單調區間；
（2）將方程的根的問題轉化為函數的圖象與水平直線的交點個數問題，利用（1）的結論，研究函數的最值和圖象，進而得到參數的取值范圍.
（1）函數
的定義域是
，
.
①當
時，
在
上恒成立，
在
上恒成立，
的增區間為
，的減區間為
.
②當
時，
，
在
和
上恒成立，在
上恒成立.
∴時，的增區間為
和，的減區間為
.
綜上所述，當時的單調遞增區間為，單調遞減區間為；
當時，的單調遞增區間為和，單調遞減區間為.
（2）若
，
，
關于
的方程
有三個不同的實根，等價于
的圖象與直線
有三個交點.
，
由解得
或
,由，解得
.
∴在上單調遞增，在
上單調遞減，在
上單調遞增，
∴
，
，
又∵當趨近于
時趨近于，當在定義域內趨近于0時，
趨近于-
，∴趨近于-，
∴的圖象與直線有三個交點時
的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從甲地到乙地要經過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為
.
（Ⅰ）設
表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數，求隨機變量
的分布列和數學期望；
（Ⅱ）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校數學老師任教的班級有50名學生，某次單元測驗成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間為
，
，
，
，
，
（1）求圖中
的值；
（2）從成績不低于80分的同學中隨機選取3人，該3人中成績在90分以上（含90分）的人數記為
，求的分布列和數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，側面
底面，
，
分別為
，
中點，
．
（Ⅰ）求證：
∥平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）在棱
上是否存在一點
，使
平面
？若存在，指出點的位置；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，點
在橢圓
上，焦點為
，圓O的直徑為
．
（1）求橢圓C及圓O的標準方程；
（2）設直線l與圓O相切于第一象限內的點P，且直線l與橢圓C交于
兩點．記
的面積為
，證明：
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某花圃為提高某品種花苗質量，開展技術創新活動，在A，B實驗地分別用甲、乙方法培育該品種花苗．為觀測其生長情況，分別在A，B試驗地隨機抽選各50株，對每株進行綜合評分，將每株所得的綜合評分制成如圖所示的頻率分布直方圖．記綜合評分為80及以上的花苗為優質花苗．
（1）求圖中a的值，并求綜合評分的中位數；
（2）用樣本估計總體，以頻率作為概率，若在A，B兩塊實驗地隨機抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的優質花苗數的分布列和數學期望；
（3）填寫下面的列聯表，并判斷是否有90%的把握認為優質花苗與培育方法有關．
優質花苗 | 非優質花苗 | 合計 | |
甲培育法 | 20 | ||
乙培育法 | 10 | ||
合計 |
附：下面的臨界值表僅供參考．
| 0．15 | 0．10 | 0．05 | 0．025 | 0．010 | 0．005 | 0．001 |
| 2．072 | 2．706 | 3．841 | 5．024 | 6．635 | 7．879 | 10．828 |
（參考公式：
，其中
．）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，平行四邊形ABCD所在平面與直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且
，
，P為DF中點．
（1）求證：直線PE平行于平面ABCD；
（2）求PE與平面BCE所成的線面角大小．
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