Question

【題目】已知函數(shù)

（1）討論的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2（x1＜x2），且求的最小值

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)得，當(dāng)通過(guò)討論判別式與0的關(guān)系，得函數(shù)單調(diào)性，由單調(diào)性即可得函數(shù)的極值問(wèn)題；（2）有兩個(gè)極值點(diǎn)可知為方程的兩個(gè)根，用表示出為，令，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)判單調(diào)性即可得到最值.

（1）法一：由題意得，

令，即。.

①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，此時(shí)沒(méi)有極值點(diǎn)。

②當(dāng)，即或時(shí)。

若，設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)根為，不妨設(shè)，

則，

故，

當(dāng)或時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

故是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。

若，設(shè)方程的兩個(gè)不同實(shí)根為，

則，故。

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)。

當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有極值點(diǎn)。

法二：，

。.

①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意恒成立，在上單調(diào)遞增，沒(méi)有極值點(diǎn)。.

②當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不等正實(shí)數(shù)解，設(shè)為，

。

不妨設(shè)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以分別為的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)。

故有兩個(gè)極值點(diǎn)。.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，沒(méi)有極值點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)。

（2）由題意知，，

則易知為方程的兩個(gè)根，且，

所以

記，由且知，

則，

記，

則，

故在上單調(diào)遞減。

由知，

從而，即，

故，結(jié)合，解得，

從而的最小值為，

即的最小值為。