Question

在楊輝三角形中，每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和．
（1）試用組合數(shù)表示這個(gè)一般規(guī)律；
（2）在數(shù)表中試求第n行（含第n行）之前所有數(shù)之和；
（3）試探究在楊輝三角形的某一行能否出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，并證明你的結(jié)論．
第0行　　　　　　　1
第1行　　　　　　 1　1
第2行　　　　　　1　2　1
第3行　　　　　1　3　3　1
第4行　　　　1　4　6　4　1
第5行　　　1　5　10　10　5　1
第6行　　1　6　15　20　15　6　1．

Answer 1

分析：（1）從楊輝三角形中的數(shù)字看出，每一行除首末兩個(gè)數(shù)之外，其余每個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和，符合組合數(shù)的第二條性質(zhì)；
（2）楊輝三角中第n行的所有數(shù)是二項(xiàng)展開(kāi)式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和，取x=1可得第n行的所有數(shù)字和為2ⁿ，然后利用等比數(shù)列求和；
（3）假設(shè)在楊輝三角形的某一行能出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)，使它們的比是3：4：5，由此列兩個(gè)關(guān)于n和r的方程組，能夠解出對(duì)應(yīng)的n和r的值，說(shuō)明假設(shè)成立．

解答：解：（1）設(shè)表中任一不為1的數(shù)為

C

r n+1

，它肩上的兩個(gè)數(shù)分別為

C

r-1 n

，C

r n

，則有

C

r n+1

=C

r-1 n

+C

r n

；
（2）楊輝三角中第n行的所有數(shù)可以看做是二項(xiàng)展開(kāi)式(1+x)n

=C

0 n

+C

1 n

x

+C

2 n

x2+…

+C

n n

xn的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和，取x=1可得第n行的所有數(shù)字和為2ⁿ，所以數(shù)表中第n行（含第n行）之前所有數(shù)之和為1+2+2²+…+2ⁿ
=

1-2n+1

1-2

=2ⁿ⁺¹-1；
（3）設(shè)

C

r-1 n

：C

r n

：C

r+1 n

=3：4：5，
由

C r-1 n

C r n

=

3

4

，得

r

n-r+1

=

3

4

，即3n-7r+3=0  ①
由

C r n

C r+1 n

=

4

5

，得

r+1

n-r

=

4

5

，即4n-9r-5=0  ②
聯(lián)立①②解得n=62，r=27．
所以在楊輝三角形的某一行能出現(xiàn)三個(gè)連續(xù)的數(shù)

C

26 62

，C

27 62

，C

28 62

，使它們的比是3：4：5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了組合及組合數(shù)公式，考查了類比推理，解答此題的關(guān)鍵是明確楊輝三角中的每一行的數(shù)都是在n取不同值時(shí)的二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，是基礎(chǔ)題．