Question

請考生注意：重點高中學生做（2）（3）．一般高中學生只做（1）（2）．
已知函數f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
（1）若曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，求a的值；
（2）當a＞0時，討論f（x）的單調性；
（3）當a=

3

4

時，設g（x）=x²-bx+1，若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求實數b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵函數f(x)=(1-a)x-lnx-

a

x

-1(a∈R)
∴f′（x）=

(1-a)x2-x+a

x2

(x＞0)
∵曲線y=f（x）在x=1和x=3處的切線互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴0=

6-8a

9

∴6-8a=0
∴a=

3

4

；
（2）若a=1時，f′(x)=-

x-1

x2

，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；
若a≠1時，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂=

a

1-a

①若

a

1-a

≤0，則a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上為增函數，在（1，+∞）上為減函數；
②若

a

1-a

＞0，即0＜a＜1時
（Ⅰ）0＜a＜

1

2

時，

a

1-a

＜1，在（0，

a

1-a

），（1，+∞）上為增函數，在（

a

1-a

，1）上為減函數
（Ⅱ）

1

2

＜a＜1時，在（0，1），（

a

1-a

，+∞）上為增函數，在（1，

a

1-a

）上為減函數
（Ⅲ）a=

1

2

時，f′（x）＞0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上恒為增函數．
（3）當a=

3

4

時，由（1）知，函數f(x)=

1

4

x-lnx-

3

4x

-1在 （0，1）是增函數，在（1，2）是減函數
∴f（x）在（0，2]的最大值為f（1）=-

3

2

若對任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等價于函數f（x）在（0，2]的最大值-

3

2

不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的對稱軸是直線x=

b

2

①當

b

2

≤

3

2

，即b≤3時，g（x）在[1，2]為增函數，則g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴-

3

2

≤5-2b，∴b≤

13

4

，滿足b≤3；
②當

b

2

＞

3

2

，即b＞3時，g（x）在[1，2]為減函數，則g（x）_max=g（1）=2-b，
∴-

3

2

≤2-b，∴b≤

7

2

，∴3＜b≤

7

2

，
綜上，實數b的取值范圍為b≤

7

2

．