Question

（本小題滿分14分)如圖，橢圓：的左焦點為，右焦點為，離心率．過的直線交橢圓于兩點，且△的周長為．

（Ⅰ）求橢圓的方程．

（Ⅱ）設動直線：與橢圓有且只有一個公共點，且與直線相交于點．試探究：在坐標平面內是否存在定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）;（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）∵過的直線交橢圓于兩點，且△的周長為．

∴∴∵，∴,∴

∴橢圓的方程為                                           ……4分

（Ⅱ）由，消元可得:        ……5分

∵動直線：與橢圓有且只有一個公共點，

∴∴∴,      

此時即,

由得                                    　　　……8分

取，此時，

以為直徑的圓為，交軸于點,

取，此時，

以為直徑的圓為交軸于點或,

故若滿足條件的點存在，即，                                 ……1２分

證明如下

∵，

∴

故以為直徑的圓恒過軸上的定點.                           ……1４分

考點：本小題主要考查橢圓標準方程的求法、直線與橢圓的位置關系以及與圓結合的綜合問題，考查學生綜合運用所學知識的能力和計算能力.

點評：遇到直線與橢圓的位置關系的題目，往往免不了要把直線方程和橢圓方程聯立方程組，消去一個未知數，然后利用根與系數的關系進行解答，有時也和向量結合起來解決問題，運算量比較大，難度中等偏上，但是是高考中常考的題目，必須加以重視.