Question

對于函數f（x），若存在區間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數f（x）為“和諧函數”，區間A為函數f（x）的一個“和諧區間”．給出下列4個函數：
①f（x）=sin（

π

2

x）；
②f（x）=2x²-1；
③f（x）=|2^x-1|； 
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在唯一“和諧區間”的“和諧函數”為（　　）

• A、①②③
• B、②③④
• C、①③
• D、②③

Answer 1

考點：元素與集合關系的判斷

專題：函數的性質及應用,集合

分析：根據“和諧區間”的定義，我們要想說明函數存在“和諧區間”，我們只要舉出一個符合定義的區間M即可，但要說明函數沒有“和諧區間”，我們可以用反證明法來說明．由此對四個函數逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：①中，若f（x）=sin（

π

2

x）的周期是4，正弦函數的性質我們易得，A=[0，1]為函數的一個“和諧區間”；同時當A=[-1，0]時也是函數的一個“和諧區間”，∴不滿足唯一性．
②中，若f（x）=2x²-1，當A=[-1，1]時，f（x）∈[-1，1]，滿足條件，且由二次函數的圖象可知，滿足條件的集合只有A=[-1，1]一個．∴f（x）=2x²-1滿足題意．
③中，由冪函數的性質我們易得，M=[0，1]為函數f（x）=|2^x-1|的“和諧區間”，由冪函數的圖象可和，滿足條件的集合只有A=[0，1]一個．∴f（x）=|2^x-1|滿足題意．
④中，∵f（x）=ln（x+1）單調遞增，且函數的定義域為（-1，+∞），
若存在“和諧區間”，則滿足

ln(m+1)=m ln(n+1)=n

，即

em-1=m en-1=n

，
∴m，n是方程e^x-x-1=0的兩個根，設f（x）=e^x-x-1，f′（x）=e^x-1，當x＞0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增，當-1＜x＜0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，
且f（0）=e^x-x-1=0，故f（x）=2^x-2x+2=0有且只有一個解，
故f（x）=ln（x+1）不存在“可等域區間”．
故存在唯一“和諧區間”的“和諧函數”為：②③．
故選：D

點評：本題考查的知識點是函數的概念及其構造要求，在說明一個函數沒有“和諧區間”時，利用函數的性質、圖象結合反證法證明是解答本題的關鍵．