如圖，已知橢圓
過點
，離心率為
，左、右焦點分別為
、
．點
為直線
上且不在
軸上的任意一點，直線
和
與橢圓的交點分別為
、
和
、
，
為坐標原點．設直線、的斜率分別為
、
．
（i）證明：
；
（ii）問直線
上是否存在點，使得直線
、
、
、
的斜率
、
、
、
滿足
？若存在，求出所有滿足條件的點的坐標；若不存在，說明理由．
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在直角坐標系xOy中，以O為極點，x正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos（
）=1，M,N分別為C與x軸，y軸的交點。
（I）寫出C的直角坐標方程，并求M,N的極坐標；
（II）設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知焦距為
的雙曲線的焦點在x軸上，且過點P
.
（Ⅰ）求該雙曲線方程 ；
（Ⅱ）若直線m經過該雙曲線的右焦點且斜率為1，求直線m被雙曲線截得的弦長.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在原點，焦點在
軸上．若橢圓上的點
到焦點
、
的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓的方程和焦點坐標；
（2）過點
的直線與橢圓交于兩點
、
，當
的面積取得最大值時，求直線
的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的中心在坐標原點，焦點在
軸上，離心率為
，且過雙曲線
的頂點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）命題：“設
、
是雙曲線上關于它的中心對稱的任意兩點，
為該雙曲線上的動點，若直線
、
均存在斜率，則它們的斜率之積為定值”．試類比上述命題，寫出一個關于橢圓的類似的正確命題，并加以證明和求出此定值；
（3）試推廣（Ⅱ）中的命題，寫出關于方程
（
，
不同時為負數）的曲線的統一的一般性命題（不必證明）.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設圓C與兩圓
，
中的一個內切，另一個外切.
（1）求C的圓心軌跡L的方程；
（2）設直線l是圓O:
在P（x0，y0）(x0y0 ≠ 0)處的切線，且P在圓上，l與軌跡L相交不同的A,B兩點，證明：
.
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已知
，
，圓
，一動圓在
軸右側與軸相切，同時與圓
相外切，此動圓的圓心軌跡為曲線C，曲線E是以
，為焦點的橢圓。
（1）求曲線C的方程；
（2）設曲線C與曲線E相交于第一象限點P，且
，求曲線E的標準方程；
（3）在（1）、（2）的條件下，直線
與橢圓E相交于A，B兩點，若AB的中點M在曲線C上，求直線的斜率
的取值范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，動點
到兩點
，
的距離之和等于
，設點的軌跡為曲線
，直線
過點
且與曲線交于
，
兩點．
（1）求曲線的軌跡方程；
（2）是否存在△
面積的最大值，若存在，求出△的面積；若不存在，說明理由.
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或
，
、
設
，
，
2分
、
：
：
可得
4分
，代入
，
可得
6分
7分
及
（由（i）得）可解得
，或
，所以直線方程為
或
，
，曲線
.自曲線
上一點
作
的兩條切線切點分別為
.
，求
；
的最大值.