Question

已知函數(shù)，其中.

(1)若對一切x∈R，≥1恒成立，求a的取值集合；

(2)在函數(shù)的圖像上取定兩點(diǎn)，，記直線AB的斜率   為k，問：是否存在x₀∈（x₁，x₂），使成立？若存在，求的取值范圍；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) 的取值集合為；

(2) 存在使成立.且的取值范圍為

【解析】

試題分析：(1)利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，令其大于等于即，解得的取值集合； (2)由題意知，令然后說明在內(nèi)有唯一零點(diǎn)且，故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， .

試題解析：（1）若，則對一切，，

這與題設(shè)矛盾，又，故.

而令

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)， 取最小值

于是對一切恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)

.　　　　　　　　　　　　　　　　　①

令則

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

故當(dāng)時(shí)，取最大值.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，①式成立.

綜上所述，的取值集合為.

（2）由題意知，

令則

令，則.

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

故當(dāng)，即

從而，又

所以

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在使單調(diào)遞增，故這樣的是唯一的，且.故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， .

綜上所述，存在使成立.且的取值范圍為.

考點(diǎn)：直線斜率定義、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)存在定理.