Question

已知在數列{a_n}中，a₁=t，a₂=t²（t＞0且t≠1）．是函數f（x）=a_n-1x³-3[（t+1）a_n-a_n+1]x+1（n≥2）的一個極值點．
（1）證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（2）記，當t=2時，數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（3）當t=2時，是否存在指數函數g（x），使得對于任意的正整數n有成立？若存在，求出滿足條件的一個g（x）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數求導令，即．變形可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）符合等比數列的定義，利用通項公式求解．
（2）由（1）求得，再求得S_n=由S_n＞2008，得，，當n≤1400時，，當n≥1005時，，取得n最小值
（3）由想到裂項相消法求和，由其結構不妨設g（k）=2^k，運算驗證即可．
解答：解：（1）f'（x）=3a_n-1x²-3[（t+1）a_n-a_n+1]（n≥2）．
由題意，即．（1分）
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2）
∵t＞0且t≠1，∴數列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項，t為公比的等比數列，（2分）
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）•tⁿ，
∴a₂-a₁=（t-1）t，
a₃-a₂=（t-1）•t²，
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩邊分別相加得a_n-a₁=（t-1）（t+t²+t^n-1），∴a_n=tⁿ（n≥2），
當n=1時，上式也成立，∴a_n=tⁿ（5分）
（2）當t=2時，
∴
=（7分）
由S_n＞2008，得，，（8分）
當，
因此n的最小值為1005．（10分）
（3）∵
令g（k）=2^k，則有：
則==（13分）
即函數g（k）=2^x滿足條件．
點評：本題主要考查函數求導，變形求數列的通項公式和前n項和以及數列不等式的解法，多數是用放縮法．