Question

（本小題滿分14分）如圖，已知直線OP₁，OP₂為雙曲線E:的漸近線，△P₁OP₂的面積為，在雙曲線E上存在點P為線段P₁P₂的一個三等分點，且雙曲線E的離心率為.

（1）若P₁、P₂點的橫坐標分別為x₁、x_2­，則x₁、x₂之間滿足怎樣的關系？并證明你的結論；
（2）求雙曲線E的方程；
（3）設雙曲線E上的動點,兩焦點,若為鈍角,求點橫坐標的取值范圍.

Answer 1

（1）∴x₁·x₂＝;（2）－＝1;（3）－，－2)∪(2，)

試題分析：（1）設雙曲線方程為－＝1，由已知得＝
　　　　∴＝　　∴漸近線方程為y＝±x   …………2分
則P₁(x₁，x₁) P₂(x_2­，－x₂)
設漸近線y＝x的傾斜角為θ，則tanθ＝　∴sin2θ＝＝
∴＝|OP₁||OP₂|sin2θ＝·
∴x₁·x₂＝                                              …………5分
（2）不妨設P分所成的比為λ＝2，P(x，y)， 則
x＝　y＝＝　　　
∴x₁＋2x₂＝3x x₁－2x₂＝2y                                    …………7分
∴(3x)²－(2y)²＝8x₁x₂＝36　　
∴－＝1　即為雙曲線E的方程                                …………9分
（3）由（2）知C＝，∴F₁(－，0) F₂(，0) 設M(x₀，y₀)
則y＝x－9，＝(－－x₀，－y₀) ＝(－x₀，－y₀)
∴·＝x－13＋y＝x－22                     …………12分
若∠F₁MF₂為鈍角，則x－22＜0
∴|x₀|＜ 又|x₀|＞2
∴x₀的范圍為(－，－2)∪(2，)            ……14分
點評：本題主要考查雙曲線的標準方程和性質、數量積的應用等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法