Question

甲、乙兩人在一場五局三勝制的象棋比賽中，規定甲或乙無論誰先贏滿三局就獲勝，并且比賽就此結束．現已知甲、乙兩人每比賽一局甲取勝的概率是

2

3

，乙取勝的概率為

1

3

，且每局比賽的勝負是獨立的，試求下列問題：
（Ⅰ）比賽以甲3勝1而結束的概率；
（Ⅱ）比賽以乙3勝2而結束的概率；
（Ⅲ）設甲獲勝的概率為a，乙獲勝的概率為b，求a：b的值．

Answer 1

分析：（I）每局比賽的勝負是獨立的，這是一個相互獨立事件同時發生的概率，比賽以甲3勝1而結束，則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局，寫出概率．
（Ⅱ） 比賽以乙3勝2而結束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，根據相互獨立事件的概率和獨立重復試驗寫出結果
（Ⅲ）甲先勝3局的情況有3種：3勝無敗，3勝1敗，3勝2敗，這三種事件之間是互斥的，根據獨立重復試驗和互斥事件的概率公式得到結果．做出比值．

解答：解：（Ⅰ）每局比賽的勝負是獨立的，這是一個相互獨立事件同時發生的概率，
 比賽以甲3勝1而結束，則第四局一定甲勝，前三局中甲勝兩局，
∴所求概率為：P=

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

即比賽以甲3勝1而結束的概率為

8

27

．
（Ⅱ） 比賽以乙3勝2而結束，則第五局一定乙勝，前四局中乙勝兩局，
∴所求概率為：P=

C

2 4

×(

1

3

)2×(

2

3

)2×

1

3

=

8

81

即比賽以乙3勝2而結束的概率為

8

81

（Ⅲ）甲先勝3局的情況有3種：3勝無敗，3勝1敗，3勝2敗．這三種事件之間是互斥的，則其概率分別為    

C

3 3

(

2

3

)3=

8

27

，

C

2 3

×(

2

3

)2×

1

3

×

2

3

=

8

27

，

C

2 4

×(

2

3

)2×(

1

3

)2×

2

3

=

16

81

，
于是甲獲勝的概率a=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

∴乙獲勝的概率b=1-a=

17

81

∴a：b=64：17．

點評：本題考查獨立重復試驗的概率，解題的關鍵是對于比賽的最后一局的結果是一個確定的結果，概率是1，這里容易出錯．