Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知底面ABC是邊長為a的正三角形，側棱AA₁=a，點D，E，F，O分別為邊AB，A₁C，AA₁，BC的中點，A₁O⊥底面ABC．
（Ⅰ）求證：線段DE∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求證：FO⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵E為A₁C的中點，
∴E也為AC₁的中點，
又∵D為AB的中點，…（2分）
∴DE∥BC₁，…（4分）
又∵DE?平面BB₁C₁C，BC₁?平面BB₁C₁C
∴DE∥平面BB₁C₁C． …（6分）
（Ⅱ）因為△ABC是邊長這a的正三角形，所以AO=a．
又A₁O⊥底面ABC，AO?底面ABC，
所以A₁O⊥AO，…（8分）
又AA₁=a，所以A₁O=AO=a．
又F為AA₁的中點，所以OF⊥AA₁，
又∵BB₁∥AA₁，
∴OF⊥BB₁． …（10分）
又BC⊥AO，BC⊥A₁O，AO∩A₁O=0，AO，A₁O?平面AOA₁，
∴BC⊥平面AOA₁，
又∵FO?平面AOA₁，
∴BC⊥FO，…（12分）
又∵BC∩BB₁=B，BC，BB₁?平面BB₁C₁C
所以FO⊥平面BB₁C₁C． …（14分）
分析：（I）根據平行四邊形對角線互相平分可得E也為AC₁的中點，由中位線定理可得DE∥BC₁，再由線面平行的判定定理可得線段DE∥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）由A₁O⊥底面ABC可得A₁O⊥AO，求出A₁O，AO長，可由等腰三角形三線合一得到OF⊥AA₁，即OF⊥BB₁．由線面垂直的判定定理可得BC⊥平面AOA₁，即BC⊥FO，再由線面垂直的判定定理可得FO⊥平面BB₁C₁C．
點評：本題考查的知識點是直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，熟練掌握空間直線與平面垂直和平行的判定定理是解答的關鍵．