Question

如圖，曲線是以原點O為中心、為焦點的橢圓的一部分，曲線是以O為頂點、為焦點的拋物線的一部分，A是曲線和的交點且
為鈍角.

（1）求曲線和的方程；
（2）過作一條與軸不垂直的直線，分別與曲線依次交于B、C、D、E四點，若G為CD中點、H為BE中點，問是否為定值？若是求出定值；若不是說明理由.

Answer 1

（1），（2）3

本題考查橢圓、拋物線的標準方程，考查直線與橢圓、拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，聯立方程，正確運用韋達定理是關鍵
（Ⅰ）設曲線C₂所在的拋物線的方程為y²=2px，將A( )
)代入可得p的值，利用橢圓的定義，可得曲線C₁所在的橢圓的方程；
（Ⅱ）設B（x₁，y₁），E（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），過F₂與x軸不垂直的直線為x=ty+1，與橢圓方程聯立，利用韋達定理可得|y₁-y_2|，同理可知|y₃-y₄| 。
解：（本小題滿分12分）（Ⅰ）

橢圓方程為，拋物線方程為。    ……………5分

則
同理，將代入得：
則，    …………8分
…………12分