Question

已知AB是拋物線y²=ax（a＞0）焦點弦，且A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），點F是拋物線的焦點，則有

1

|AF|

+

1

|BF|

=

4

a

．

Answer 1

分析：由題意利用拋物線的定義可得|AF|=x₁+

a

4

，|BF|=x₂+

a

4

．把AB的方程y-0=k（x-

a

4

）代入拋物線y²=ax（a＞0）可得 k²x²-

3a

2

x-

k2•a2

16

=0，
可得 x₁•x₂=

a2

16

．化簡 

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+ a 4

+

1

x2+ a 4

，求得結(jié)果．

解答：解：由題意利用拋物線的定義可得|AF|=x₁+

a

4

，|BF|=x₂+

a

4

．
把AB的方程y-0=k（x-

a

4

）代入拋物線y²=ax（a＞0）可得 k²x²-

3a

2

x-

k2•a2

16

=0，∴x₁•x₂=

a2

16

．
∴

1

|AF|

+

1

|BF|

=

1

x1+ a 4

+

1

x2+ a 4

=

x1+x2+ a 2

(x1+ a 4 )(x2+ a 4 )

=

x1+x2+ a 2

x1• x2+ a 4 (x1+x2)+ a2 16

=

x1+x2+ a 2

a 4 (x1+x2)+ a2 8

=

x1+x2+ a 2

a 4 (x1+x2+ a 2 )

=

4

a

，
故答案為

4

a

．

點評：本題主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．