Question

如圖，已知在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB=AC，F為側棱BB₁上一點，BF=BC=2a，FB₁=a.(1)若D為BC的中點，E為AD上不同于A、D的任一點，求證：EF⊥FC₁；(2)若A₁B₁=3a，求FC₁與平面AA₁B₁B所成角的大小.

Answer 1

思路解析：E點在AD上變化，EF為平面ADF內變化的一組相交直線(都過定點F)，要證明C₁F與EF垂直，必有C₁F⊥平面ADF.求FC₁與平面ABB₁A₁所成角的關鍵是找C₁到面ABB₁A₁的垂線，從而落實線面成角，在直三棱柱中，側棱AA₁⊥平面A₁B₁C₁給找點C₁到面AB₁的垂線創造了方便的條件.

(1)證明：∵AB=AC,且D是BC的中點，∴AD⊥BC.

又∵在直三棱柱中，BB₁⊥平面ABC，∴AD⊥BB₁.

∴AD⊥平面BB₁C₁C.∴AD⊥C₁F.

在矩形BB₁C₁C中，BF=BC=2a，B₁F=a，

∴DF=a，FC₁=a，DC₁=a.

∴DF²+FC₁²=DC₁².∴∠DFC₁=90°，即FC₁⊥DF.

∴FC₁⊥平面ADF.∴FC₁⊥EF.

(2)解：過點C₁作C₁H⊥A₁B₁于點H，

∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁，∴AA₁⊥C₁H.

∴C₁H⊥平面AA₁B₁B.連結FH，∠C₁FH是C₁F與平面AB₁所成的角.

在等腰△ABC中，AB=AC=3a，BC=2a，∴AD=2a.

在等腰△A₁B₁C₁中，由面積相等，可得C₁H×3a=2a×2a，∴C₁H=a.又C₁F=a,

在Rt△C₁HF中，sin∠C₁FH=，∴∠C₁FH=arcsin,

即C₁F與平面AB₁所成的角為arcsin.