Question

已知A={x|x²-mx-2x+2m≤0，m≥0}，f（x）=ax²+3x-b（a，b為正整數(shù)），設(shè)f（x）=x的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g(x)=

f(x)

1+x

，若g（x）在A中恒有g(shù)（x）＞m，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)f（x）=x的兩根為x₁，x₂，且|x₁-x₂|=3，可得a（9a-4b）=4，，從而可求函數(shù)的解析式；
（2）g（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)，分類討論化簡集合A，利用g（x）在A中恒有g(shù)（x）＞m，可求m的取值范圍．

解答：解：（1）由已知可得：a（9a-4b）=4，進(jìn)而可得：a=2，b=4．
∴f（x）=2x²+3x-4；
（2）

g(x)=2(1+x)- 5 1+x -1在(-1，+∞)上是增函數(shù)，A={x|(x-2)(x-m)≤0，m≥0}

1）．當(dāng)m≥2時(shí)，A=[2，m]，g（x）在[2，m]上是增函數(shù)，只須g（2）＞m即可，
解得2≤m＜

10

3

2）．當(dāng)0≤m＜2時(shí)，A=[m，2]，只須g（m）＞m即可，解得

5

-1＜m＜2
綜上，

5

-1＜m＜

10

3

點(diǎn)評(píng)：本題以集合、函數(shù)為載體，考查函數(shù)的解析式，考查恒成立問題，注意恒成立問題的處理策略．